Định lý nhúng Whitney

Trong toán học, đặc biệt trong Topo vi phân, có hai định lý nhúng Whitney, được đặt theo tên nhà toán học người Mỹ, Hassler Whitney (1907 – 1989).

• Định lý nhúng Whitney mạnh phát biểu rằng bất kì đa tạp m {\displaystyle m} chiều thực trơn (cũng phải là Hausdorff và second-countable) có thể nhúng trơn trong không gian 2 m {\displaystyle 2m} thực ( R ) 2 m {\displaystyle (\mathbb {R} )^{2m}} , nếu m > 0 {\displaystyle {m>0}} . Đây là giới hạn tuyến tính nhất trong không gian Euclidean có chiều nhỏ nhất, mà tất cả đa tạp m {\displaystyle m} chiều được nhúng trong đó. Vì những không gian xạ ảnh thực của chiều m {\displaystyle m} không thể được nhúng vào không gian 2 m − 1 {\displaystyle {2m-1}} thực nếu m {\displaystyle m} là lũy thừa của 2 (có thể thấy từ lý luận lớp đặc trưng (characteristic class argument) của Whitney).
• Định lý nhúng Whitney yếu phát biểu rằng bất kỳ hàm liên tục từ đa tạp n {\displaystyle n} chiều đến đa tạp m {\displaystyle m} chiều có thể được dự đoán bởi một phép nhúng miễn là m > 2 {\displaystyle {m>2}} . Whitney chứng minh tương tự rằng một ánh xạ có thể được dự đoán bởi một phép dìm miễn là m > 2 n − 1 {\displaystyle m>2n-1} . Kết quả cuối cùng này cũng được gọi là định lý dìm Whitney.

Định lý đa tạp ổn định

Đặt:
f : U ⊂ R n → R n {\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
là 1 ánh xạ trơn với điểm hypebon cố định tại p {\displaystyle p} . Chúng ta ký hiệu W s ( p ) {\displaystyle W^{s}(p)} tập hợp ổn định và W u ( p ) {\displaystyle W^{u}(p)} tập hợp không ổn định của p {\displaystyle p} . Định lý [1][2][3] phát biểu rằng:
- W s ( p ) {\displaystyle W^{s}(p)} là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian ổn định của khi tuyến tính hóa f {\displaystyle f} tại p {\displaystyle p} .
- W u ( p ) {\displaystyle W^{u}(p)} là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian không ổn định khi tuyến tính hóa f {\displaystyle f} tại p {\displaystyle p} .
Theo đó, W s ( p ) {\displaystyle W^{s}(p)} là một đa tạp ổn định và W u ( p ) {\displaystyle W^{u}(p)} là một đa tạp không ổn định.

Định lý Birkhoff

- Nhà toán học người Mỹ, Garrett Birkhoff (1911 – 1996) đã chứng minh tương tự hai định nghĩa của đa tạp ở trên, một kết quả có ý nghĩa cơ bản với đại số phổ quát và được biết đến như định lý Birkhoff hoặc là định lý HSP. H, S, và P viết tắt cho những phép tính đóng của phép đồng hình, đại số con và tích số.
- Một lớp phương trình (equational class) ký hiệu Σ nào đó, là tập hợp của tất cả mô hình, theo ý nghĩa của lý thuyết mô hình, nó đã thỏa tập hợp phương trình E nào đó, (asserting equality between terms). Một mô hình thỏa những phương trình đó nếu chúng đúng trong mô hình cho mọi giá trị của biến. Những phương trình trong E sau đó được gọi là những đồng nhất thức của mô hình. Ví dụ của những đồng nhất thức đó là luật giao hoán, đại số giao hoán đặc trưng, và luật hút thu, dàn (lattices) đặc trưng.
- Dễ dàng thấy rằng lớp đại số thỏa tập hợp phương trình nào đó sẽ đóng trong phép toán HSP. Chứng minh ngược lại – các lớp đại số đóng trong phép toán HSP phải thuộc phương trình – sẽ khó hơn nhiều.